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<!DOCTYPE html>

<title>Schiefe Ebene</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Schiefe Ebene</h1>

</header>

</div>

Eine schiefe, schräge oder geneigte Ebene (umgangssprachlich: Hang, Schiefe, Schräge bzw. Neigung) ist in der <a href="Mechanik" title="Mechanik">Mechanik</a> eine <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">ebene</a> Fläche, die gegen die <a href="Horizont#Horizont_in_Mathematik,_Astronomie_und_Geodäsie" title="Horizont">Horizontale</a> geneigt ist. Sie wird verwendet, um den <a href="Kraft" title="Kraft">Kraft</a>aufwand zur Höhenveränderung einer <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> zu verringern – der <a href="Arbeit_(Physik)" title="Arbeit (Physik)">Arbeits</a>aufwand bleibt jedoch unverändert, da sich die Wegstrecke entsprechend verlängert (ähnlich wie beim <a href="Hebel_(Physik)" title="Hebel (Physik)">Hebel</a> oder dem <a href="Flaschenzug" title="Flaschenzug">Flaschenzug</a>). Die schiefe Ebene gehört seit dem Altertum zu den elementarsten sogenannten <a href="Einfache_Maschine" title="Einfache Maschine">einfachen Maschinen</a>. Auf ihr beruhen zahlreiche mechanische Wirkweisen, sie bildet beispielsweise die Basis anderer einfacher Maschinen wie <a href="Keil" title="Keil">Keil</a> oder <a href="Helix" title="Helix">Schraube</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verwendung_im_Alltag">Verwendung im Alltag</h2></div>

Schiefe Ebenen finden sich in Form von Rampen z. B. als Laderampen, <a href="Fahrrad" title="Fahrrad">Fahrrad</a>-, <a href="Rollstuhlrampe" title="Rollstuhlrampe">Rollstuhlrampen</a> oder Auffahrrampen bei Autotransportern. Sie dienen dazu, Höhenunterschiede für Fahrzeuge zu überwinden oder schwere Lasten leichter auf- oder abzuladen. Im Altertum wurden sie zum Transport von Steinen und beim Bau großer Bauwerke verwendet. Aber auch bei <a href="Serpentine" title="Serpentine">Serpentinen</a> im Gebirge wird ausgenutzt, dass ein Höhenunterschied leichter überwunden werden kann, wenn der Anstieg auf eine größere Strecke verteilt wird.

<a href="Schraube" title="Schraube">Schrauben</a> lassen sich als <a href="Zylinder_(Geometrie)" title="Zylinder (Geometrie)">Zylinder</a> mit einer aufgewickelten schiefen Ebene betrachten. Diese bewegt sich relativ zum Körper, der sich nicht mitdreht. Der Keil nutzt dasselbe Prinzip, um große Kräfte senkrecht zur schiefen Ebene zu erzeugen.

<div class="gallerytext">Eine Rampe verschafft Zugang zum Obergeschoss.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Rollstuhlrampe</div>

</li>

<div class="gallerytext">Laderampe eines LKW</div>

</li>

<div class="gallerytext">Straße in Burma, Assam, Indien, durch Burma nach China, 1945</div>

</li>

<div class="gallerytext">Erdrampe von den Römern bei der Belagerung von <a href="Masada" title="Masada">Masada</a> erbaut</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Die schiefe Ebene gehört zu den ältesten Hilfsmitteln der Menschheit. Die Errichtung von <a href="Megalith#Bauweise" title="Megalith">Megalithgräbern</a> in der Jungsteinzeit ist ohne schiefe Ebenen nicht denkbar. Die Verwendung von Rampen beim Bau der ägyptischen Pyramiden ist nicht endgültig geklärt, wobei es dazu verschiedene <a href="Theorien_zum_Steintransport_beim_Bau_der_%C3%A4gyptischen_Pyramiden" title="Theorien zum Steintransport beim Bau der ägyptischen Pyramiden">Theorien</a> gibt. Reste einer Erdrampe, die bei der Belagerung von <a href="Masada" title="Masada">Masada</a> etwa 70 n. Chr. von den Römern errichtet wurde, sind bis heute erhalten.

Durch Experimente mit einer Fallrinne widerlegte <a href="Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei">Galileo Galilei</a> die Bewegungslehre des Aristoteles. Er entdeckte, dass die Fallgeschwindigkeit proportional zur verstrichenen Zeit zunimmt. Die schiefe Ebene diente dazu, die Bewegung im Vergleich zum <a href="Freier_Fall" title="Freier Fall">freien Fall</a> zu verlangsamen und so einer genaueren Beobachtung zugänglich zu machen.<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a> <a href="Simon_Stevin" title="Simon Stevin">Simon Stevin</a> bewies mit seinem <a href="Stevinsches_Gedankenexperiment" title="Stevinsches Gedankenexperiment">Gedankenexperiment</a> mit einer Kette, dass der Hangabtrieb auf zwei gegeneinander geneigten Ebenen bei gleichem Höhenunterschied im umgekehrten Verhältnis zu deren Längen steht.

Als historisches Arbeitsgerät diente die <a href="Schrotleiter" title="Schrotleiter">Schrotleiter</a> dazu, schwere Fässer zu heben oder herabzulassen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen_der_schiefen_Ebene">Anwendungen der schiefen Ebene</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bezeichnungen">Bezeichnungen</h3></div>

Zur Berechnung der Kräfte auf der schiefen Ebene werden folgende Bezeichnungen verwendet:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {G} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9e399fa8e820d09bb166d88886b817788466d80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.404ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {G} }\,}" loading="lazy">: <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a>,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {GN} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eef6c29a29317eb8a4cd893bf0c2b20a14ab3a3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {GN} }\,}" loading="lazy">: <a href="Normalkomponente" title="Normalkomponente">Normalkomponente</a> der Gewichtskraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{\mathrm {G} }\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {G} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9e399fa8e820d09bb166d88886b817788466d80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.404ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {G} }\,}" loading="lazy">,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {N} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/278c36c4d8ef760054243d9f49b2696e7546150f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.347ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {N} }\,}" loading="lazy">: <a href="Normalkraft" title="Normalkraft">Normalkraft</a>,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {GH} }=F_{\mathrm {H} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4236f4ad7ba2e397d3044c336628cff59063359a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.694ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {GH} }=F_{\mathrm {H} }\,}" loading="lazy">: <a href="Hangabtrieb" class="mw-redirect" title="Hangabtrieb">Hangabtriebskraft</a>,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {R} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ba3d69bc3043e4dd885edc81349561c8337007a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.324ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {R} }\,}" loading="lazy">: <a href="Reibungskraft" class="mw-redirect" title="Reibungskraft">Reibungskraft</a>,</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{\mathrm {H} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/086b85b03fe81a9dd187e9547a6a27e4d5e510c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.254ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{\mathrm {H} }\,}" loading="lazy">: <a href="Haftreibung" title="Haftreibung">Haftreibungs-Koeffizient</a>,</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d20addf0d9f04e185714134b97726c4bf17d340.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.789ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu \,}" loading="lazy">: <a href="Gleitreibungskoeffizient" class="mw-redirect" title="Gleitreibungskoeffizient">Gleitreibungskoeffizient</a>),</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/652e1fd9c3a2ca00e1a517783cdbb0e18e4181f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.875ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha \,}" loading="lazy">: Neigungswinkel der schiefen Ebene,</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cecd947e6666832fcc39909b00dbde70caa9cf8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.726ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\,}" loading="lazy">: Höhe der schiefen Ebene,</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b1bcf19f4ec75b1d2cc0be001e58a314fb0a940.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.385ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\,}" loading="lazy">: Basis der schiefen Ebene,</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db8b3f411aa6977b35e33fffcd39d6713bf4e46b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.08ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l\,}" loading="lazy">: Länge der schiefen Ebene.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Statisches_Gleichgewicht">Statisches Gleichgewicht</h3></div>

Stellt man einen Körper auf eine schiefe Ebene, so muss im <a href="Gleichgewicht_(Mechanik)" class="mw-redirect" title="Gleichgewicht (Mechanik)">statischen Gleichgewicht</a> der Hangabtrieb durch eine äußere Kraft kompensiert werden. Diese Kraft kann durch eine Haltevorrichtung oder durch <a href="Haftreibung" title="Haftreibung">Haftreibung</a> erzeugt werden. Beim letzteren Fall darf die Hangabtriebskraft die Haftreibungskraft nicht übersteigen. Ist der Winkel der schiefen Ebene zu groß oder die Reibung zu gering, beginnt der Körper zu rutschen – dies geschieht beispielsweise bei einem Auto, das bei Glatteis an einer Steigung geparkt werden soll und abrutscht.

Die Gewichtskraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{\mathrm {G} }=m\cdot g}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {G} }=m\cdot g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24c336becc6c50b117ebfdae82e3442fdf2a4651.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.951ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {G} }=m\cdot g}" loading="lazy"> kann aufgeteilt werden in eine Komponente senkrecht zur schiefen Ebene (Normalkraftkomponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{\mathrm {GN} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {GN} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b933960778112b79099beb839b0daf24083b620.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.249ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {GN} }}" loading="lazy">) und eine Komponente parallel zur schiefen Ebene (Hangabtrieb <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{\mathrm {GH} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {GH} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c24d913b36dbd6b308a5f73be6541e7e631fc005.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.249ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {GH} }}" loading="lazy">).

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {GN} }=m\cdot g\cos \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8491a76e82d3b007b4f0e30bd9d74d8385bf014.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.556ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {GN} }=m\cdot g\cos \alpha }" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {GH} }=m\cdot g\sin \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3db532e8f7c6e01bfa921a13fd127e35fbc5f66f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.301ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {GH} }=m\cdot g\sin \alpha }" loading="lazy"></dd></dl>

An der Kontaktfläche zwischen Körper und schiefer Ebene wirken eine Normalkraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{\mathrm {N} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db36abcd6c275e1c41d89703be57e0abf32ad720.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.959ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {N} }}" loading="lazy"> und eine Reibungskraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{\mathrm {R} }\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {R} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ba3d69bc3043e4dd885edc81349561c8337007a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.324ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {R} }\,}" loading="lazy">.

Wenn der Körper in Ruhe sein soll, muss die Reibungskraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{\mathrm {R} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {R} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a755e3188117ab03b7cd761cc8b092f5339d3a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.936ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {R} }}" loading="lazy"> gerade gleich groß sein wie der Hangabtrieb:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ F_{\mathrm {R} }=F_{\mathrm {GH} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a73a69f4228146e6e6a7b12ad1ed2075f262cae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.252ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ F_{\mathrm {R} }=F_{\mathrm {GH} }\,}" loading="lazy">.</dd></dl>

Entsprechend gilt auch für das Gleichgewicht senkrecht zur schiefen Ebene:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ F_{\mathrm {N} }=F_{\mathrm {GN} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60aa821a1b972e1cf58066c2f9085acd70f0890f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.275ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ F_{\mathrm {N} }=F_{\mathrm {GN} }\,}" loading="lazy">.</dd></dl>

Mit dem Reibungsgesetz:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {R} }\leq \mu _{\mathrm {H} }F_{\mathrm {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5ebffdbbff813f360c5faa464ecf73d69cbb598.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.861ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {R} }\leq \mu _{\mathrm {H} }F_{\mathrm {N} }}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt sich als notwendige Bedingung:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{\mathrm {H} }\geq \tan \alpha \,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6875e377950c4b574a5f0c3acbb908a7d43b5c01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.586ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mu _{\mathrm {H} }\geq \tan \alpha \,}" loading="lazy">.</dd></dl>

Wenn der Neigungswinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \!\ \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\ \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/927c7a84c44031cdfe0bba06bfeb087a08bc2353.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-left: -0.387ex; width:2.068ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \!\ \alpha }" loading="lazy"> zu groß oder der <a href="Haftreibungskoeffizient" class="mw-redirect" title="Haftreibungskoeffizient">Haftreibungskoeffizient</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{\mathrm {H} }\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{\mathrm {H} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/086b85b03fe81a9dd187e9547a6a27e4d5e510c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.254ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{\mathrm {H} }\,}" loading="lazy"> zu klein ist, so ist kein Gleichgewicht möglich und der Körper rutscht.

Bei <a href="Kleinwinkeln%C3%A4herung" title="Kleinwinkelnäherung">kleinen Winkeln</a>, wie sie im Straßenverkehr üblich sind, gilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan \alpha \approx \sin \alpha \approx \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \alpha \approx \sin \alpha \approx \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bfa7400976e03d6dbed0b0346682894dc069300.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.649ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \tan \alpha \approx \sin \alpha \approx \alpha }" loading="lazy">. Bei Blitzeis mit einem Reibbeiwert 0,1 für Gummireifen dürfte die <a href="Gradiente" title="Gradiente">Neigung der Straße</a> maximal 5,7 Grad oder etwa 6 % betragen. Dieser maximale Steigungswert ist auch nach DIN 18040-1 für Rampen im öffentlichen Raum vorgeschrieben, um Rollstuhlfahrern den Zugang aus eigener Kraft zu ermöglichen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stationäre_Bewegung">Stationäre Bewegung</h3></div>

Bei Körpern, die auf der festen schiefen Ebene abrollen, ohne dass eine merkliche Gleitgeschwindigkeit am Berührpunkt auftritt, gilt der <a href="Energieerhaltungsgesetz" class="mw-redirect" title="Energieerhaltungsgesetz">Energieerhaltungssatz</a>. Die verrichtete Arbeit ist unabhängig vom Weg. Dieser Fall tritt auf griffiger Fahrbahn bei Fahrzeugen oder beim Be- und Entladen von Fässern auf. Für die Arbeit bei einem Anstieg um die Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> in vertikaler Richtung gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=F_{\mathrm {G} }\cdot h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ed1b712966217c84c3c6286c3fc4f53d146b161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.877ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A=F_{\mathrm {G} }\cdot h}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Arbeit entlang der schiefen Ebene:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=F_{H}\cdot l=F_{\mathrm {G} }\cdot h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc0ad87fd3359a0d7643eebd5674c7206fcfb79b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.533ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A=F_{H}\cdot l=F_{\mathrm {G} }\cdot h}" loading="lazy"> ist mit der Arbeit in vertikaler Richtung identisch.</dd></dl>

Der Zusammenhang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{H}\cdot l=F_{\mathrm {G} }\cdot h}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{H}\cdot l=F_{\mathrm {G} }\cdot h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e72cc42e2b513ba4ce0d2b755d81afaefd633450.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.692ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{H}\cdot l=F_{\mathrm {G} }\cdot h}" loading="lazy"> wird als „<a href="Goldene_Regel_der_Mechanik" title="Goldene Regel der Mechanik">Goldene Regel der Mechanik</a>“ bezeichnet, die Galilei 1594 so formulierte:

„Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen“

</blockquote>

</div></div>

Hangabtrieb und Gewicht stehen im Verhältnis:

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {F_{H}}{F_{\mathrm {G} }}}={\frac {h}{l}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6383e0d935596a325b4867eb5e194a081dc8443c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.296ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {F_{H}}{F_{\mathrm {G} }}}={\frac {h}{l}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der Hangabtrieb wird bei Fahrzeugen durch Kräfte an den Rädern kompensiert. Da diese durch <a href="Kraftschluss" class="mw-redirect" title="Kraftschluss">Kraftschluss</a> übertragen werden, muss die Neigung deutlich geringer als 45° sein. Die <a href="Baldwin_Street" title="Baldwin Street">Baldwin Street</a>, die als steilste Straße der Welt gilt, erfordert bei einer Neigung von 19,3° einen Reibwert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =0{,}35}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =0{,}35}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82bee9fd3bb726f4f37e17db7d37260368cbf66b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.634ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu =0{,}35}" loading="lazy"> und ist bei winterlichen Verhältnissen deutlich zu steil.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beschleunigte_Bewegung">Beschleunigte Bewegung</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Gleiten">Gleiten</h4></div>

Wenn die Gleichgewichtsbedingung nicht erfüllt ist, erfährt der Körper eine gleichmäßige <a href="Beschleunigung" title="Beschleunigung">Beschleunigung</a>.

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g^{*}=g\cdot \sin \alpha -\mu g\cdot \cos \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d0d5bcc629f3dc05d150c30132b270bbd9c7325.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.819ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g^{*}=g\cdot \sin \alpha -\mu g\cdot \cos \alpha }" loading="lazy"></dd></dl>

Da dies langfristig zu einer immer größeren Geschwindigkeit führen würde, können diese Bedingungen immer nur für einen begrenzten Zeitraum aufrechterhalten bleiben. Beim Skifahren z. B. durch eine Route nicht direkt in der <a href="Falllinie" title="Falllinie">Falllinie</a>, oder bei Radrennfahrern durch den Luftwiderstand.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Freier_Fall">Freier Fall</h4></div>

Versuche mit einer Fallrinne<a href="#cite_note-3">[3]</a> ermöglichten es Galilei, seine Hypothese zum Bewegungsablauf beim freien Fall zu überprüfen. Mit einer schiefen Ebene kann der Vorgang so verlangsamt werden, dass der zeitliche Verlauf auch mit den ungenauen Mitteln seiner Zeit beobachtbar wurde. Im Folgenden wird die Bewegungsgleichung für einen Körper hergeleitet, der eine schiefe Ebene herunterrollt. Die Rollreibung ist im Vergleich zur Gleitreibung wesentlich geringer und wird vernachlässigt.

Für die Geschwindigkeit im Schwerpunkt eines Körpers wie Fass, Zylinder oder Kugel, der, ohne zu gleiten, auf der schiefen Ebene abrollt, gilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=\omega \cdot r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=\omega \cdot r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02e05bb36641bb545b6064a3c4c4a72a2fe56c44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.4ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v=\omega \cdot r}" loading="lazy">. Für die Beschleunigung entsprechend: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a={\dot {\omega }}\cdot r}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\dot {\omega }}\cdot r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f2c4f80d2f06bdb6ef43de579b7f9cb3874a5b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.502ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a={\dot {\omega }}\cdot r}" loading="lazy">.

Im Schwerpunkt soll parallel zur schiefen Ebene außer der Hangabtriebskraft keine weitere Kraft angreifen. Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus den <a href="Drehmoment" title="Drehmoment">Momenten</a> um den Berührpunkt:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Theta +mr^{2})\cdot {\dot {\omega }}=F_{H}\cdot r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e3de652db22c8de98e65d6009450916d2238c4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.738ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (\Theta +mr^{2})\cdot {\dot {\omega }}=F_{H}\cdot r}" loading="lazy">.</dd></dl>

Mit dem <a href="Tr%C3%A4gheitsradius" title="Trägheitsradius">Trägheitsradius</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> gemäß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta =m\cdot i^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta =m\cdot i^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a48ab49e2d8df0bb226caadd5bcad6e2f4382b5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.483ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Theta =m\cdot i^{2}}" loading="lazy"> gilt

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\omega }}={\frac {g\sin \alpha \cdot r}{i^{2}+r^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ae17dd4f171ae9220028b1d68a8c7866ff1da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.342ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\omega }}={\frac {g\sin \alpha \cdot r}{i^{2}+r^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Damit errechnet sich die Beschleunigung zu:

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=g\cdot \sin \alpha \cdot {\frac {r^{2}}{i^{2}+r^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/151bc7c385f3d2ee5591c0094f934f6ac03dd784.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.169ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle a=g\cdot \sin \alpha \cdot {\frac {r^{2}}{i^{2}+r^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Mit der Abkürzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{F}={\frac {r^{2}}{i^{2}+r^{2}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{F}={\frac {r^{2}}{i^{2}+r^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39eb31d3d6f57a1159499647b3ba957c6c8a2b5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.205ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle c_{F}={\frac {r^{2}}{i^{2}+r^{2}}}}" loading="lazy"> gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=g\cdot c_{F}\cdot \sin \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1183f745a5a0df3e21962a3a2bdddb265a562bfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.003ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=g\cdot c_{F}\cdot \sin \alpha }" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Beschleunigung ist proportional zur <a href="Erdbeschleunigung" class="mw-redirect" title="Erdbeschleunigung">Erdbeschleunigung</a>, wird aber durch das Verhältnis der Höhe zur Länge der schiefen Ebene reduziert (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin \alpha ={\tfrac {h}{l}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin \alpha ={\tfrac {h}{l}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ee2b06e4dd24d530b92335d3af98028f96b71d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:9.612ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sin \alpha ={\tfrac {h}{l}}}" loading="lazy">). Da die Beschleunigung konstant ist, bewegt sich der Körper gleichmäßig beschleunigt mit dem <a href="Gleichm%C3%A4%C3%9Fig_beschleunigte_Bewegung#Gesetze" title="Gleichmäßig beschleunigte Bewegung">Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz</a>:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=a\cdot t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/275f21f1bdc7af8a87f745c1b6f5bcdd3fa52c3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.975ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v=a\cdot t}" loading="lazy"></dd></dl>

und dem <a href="Weg-Zeit-Gesetz" title="Weg-Zeit-Gesetz">Weg-Zeit-Gesetz</a>:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s={\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b12cbbb93591f92ccaf0325b66c9e6426f9b44fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.99ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle s={\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Zeit, die benötigt wird, um die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> zurückzulegen, errechnet sich aus dem Weg-Zeit-Gesetz zu:

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t={\sqrt {\frac {2s}{g\cdot c_{F}\cdot \sin \alpha }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e35faba934cb4121d0411167e430bf1936cc821.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:18.773ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle t={\sqrt {\frac {2s}{g\cdot c_{F}\cdot \sin \alpha }}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Durch seine Messungen stellte Galilei fest, dass das Verhältnis unterschiedlicher Rollwege im Verhältnis zu den Quadraten der benötigten Zeit steht.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {s_{1}}{s_{2}}}={\frac {t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a3f9e5e77a384797c764484e513648954e63df0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:8.809ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {s_{1}}{s_{2}}}={\frac {t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wie er in seinem Buch <a href="Discorsi_e_dimostrazioni_matematiche" title="Discorsi e dimostrazioni matematiche">Discorsi e dimostrazioni matematiche</a> beschrieb, bestätigte seine Hypothese, dass die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zunimmt. Die Wegstrecke kann dann auch aus der mittleren Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {v}}={\tfrac {1}{2}}a\cdot t}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {v}}={\tfrac {1}{2}}a\cdot t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b0a52d353c2832da7e0061498a9005b4a87ff96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.748ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {v}}={\tfrac {1}{2}}a\cdot t}" loading="lazy"> berechnet werden:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s={\overline {v}}\cdot t\Rightarrow s={\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20373174eea78ab244d32ceef58beb55eef9b026.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.555ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle s={\overline {v}}\cdot t\Rightarrow s={\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Das <a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmoment</a> ist von der Massenverteilung abhängig und kann durch den Trägheitsradius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> ausgedrückt werden (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot i^{2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot i^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f890ed74388be831559f74c09849153e013df9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.752ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot i^{2}}" loading="lazy">). Für einen <a href="Homogenit%C3%A4t_(Physik)" class="mw-redirect" title="Homogenität (Physik)">homogenen</a> Vollzylinder ist das Trägheitsmoment <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}/2}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8596a2f4c74de61c98c182e2a76c2142418282.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.323ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}/2}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-Eichler-5">[5]</a> Für einen Hohlzylinder mit vernachlässigbar dünnem Rand ist das Trägheitsmoment <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c608785038b520a38a7784865704c569957f482c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.998ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-Eichler-5">[5]</a> Unabhängig davon, aus welchen Materialien der eine und der andere gefertigt sind und unabhängig von den Radien der Körper, rollt demnach ein Hohlzylinder langsamer die schiefe Ebene herunter als ein Vollzylinder.

Die Geschwindigkeit am Ende der schiefen Ebene ergibt sich zu:

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\sqrt {2g\cdot c_{F}\cdot h}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf3546fbd5b72b2c6d2abe2ed5b216fbc9ea1f68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:15.995ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle v={\sqrt {2g\cdot c_{F}\cdot h}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Sie unterscheidet sich von der des freien Falls lediglich um den formabhängigen Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{F}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{F}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7096b1c5a211dc20d69441596d5053416d6417e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.47ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{F}}" loading="lazy"> (Punktmasse 1, Vollzylinder 2/3, Hohlzylinder 1/2, Kugel 5/7). Die Dauer des Vorgangs lässt sich aber durch die Neigung deutlich verlängern. Galilei verwendete für seine Versuche eine Rinne mit 12 Ellen Länge deren Neigungswinkel er veränderte. Bei einer Anhebung um eine Elle entsprechend 4,8° Neigung konnte der Vorgang so auf etwa 5 s verlängert werden. Eine Rekonstruktion seines Arbeitszimmers findet sich im Deutschen Museum.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bewegung_mit_Luftwiderstand">Bewegung mit Luftwiderstand</h3></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Fall_mit_Luftwiderstand" title="Fall mit Luftwiderstand">Fall mit Luftwiderstand</a></div>

Im Folgenden soll die Luftwiderstandskraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{W}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{W}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18162f57930f4896d3000f74b95c5dbfdf6d9ff7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{W}}" loading="lazy"> bei der Bewegung des Körpers der auf einer schiefen Ebene berücksichtigt werden.

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{W}={\frac {\rho }{2}}c_{\mathrm {w} }A\,v^{2}=kv^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acea265cad89e273593c4f16a79f8f18bbe3bcc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.815ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle F_{W}={\frac {\rho }{2}}c_{\mathrm {w} }A\,v^{2}=kv^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Konstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5665cb00a844c1c6a671c119c6e4984d28fb851.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.598ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\,}" loading="lazy"> ist von der Form des Körpers und der Dichte des strömenden Mediums abhängig.

Hierbei ist:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{\mathrm {w} }\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ee364aa569898bfd6291636deb923f78e4ef7df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.813ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{\mathrm {w} }\,}" loading="lazy">: der Widerstandsbeiwert,</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6aaf5ce10d6add44b973e28fb3d95f37abf3721.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.13ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\,}" loading="lazy">: die Körperquerschnittsfläche,</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho \,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1d651c28959a0f15127c097ff4488b123d9e708.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.589ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho \,}" loading="lazy">: die Dichte des strömenden Mediums.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Gleiten_2">Gleiten</h4></div>

Auf den Körper wirken parallel zur schiefen Ebene der Hangabtrieb, sowie die Reibungskraft und der Luftwiderstand. Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\cdot a=F_{H}-F_{R}-F_{\mathrm {W} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24a8fbf69b7cb50ea510a8dfbb9d0a152205bdd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.305ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m\cdot a=F_{H}-F_{R}-F_{\mathrm {W} }}" loading="lazy"></dd></dl>

oder:

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m{\dot {v}}+kv^{2}=mg\cdot (\sin \alpha -\mu \cos \alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43884163a76670963ed2894aaefd0452fcf7570b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.59ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle m{\dot {v}}+kv^{2}=mg\cdot (\sin \alpha -\mu \cos \alpha )}" loading="lazy">.</dd></dl>

Es wird von dem Fall: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan \alpha >\mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \alpha >\mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d930106cd44cc00abbf8319787f8a7958f38309.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.734ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \tan \alpha >\mu }" loading="lazy"> ausgegangen. Mit

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g^{*}=g\cdot (\sin \alpha -\mu \cos \alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4cc2ea552edeb1b57e7d623adb10c0b872004c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.221ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g^{*}=g\cdot (\sin \alpha -\mu \cos \alpha )}" loading="lazy"></dd></dl>

Ansatz:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh bt\Rightarrow {\dot {v}}={\frac {v_{\infty }b}{\cosh ^{2}\left(bt\right)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/725b487d4b7fdf1e31f126cbce766150a71e4a2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:35.022ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh bt\Rightarrow {\dot {v}}={\frac {v_{\infty }b}{\cosh ^{2}\left(bt\right)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cosh ^{2}\left(bt\right)=1+\sinh ^{2}\left(bt\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb2ac0bd224a72b51d51cde92fc95debd1fd1437.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.054ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \cosh ^{2}\left(bt\right)=1+\sinh ^{2}\left(bt\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

und durch Koeffizientenvergleich:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t\rightarrow \infty )=v_{\infty }={\sqrt {\frac {m\cdot g^{*}}{k}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b34f14969e29b8308b36de1d46617cd34f081b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.966ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v(t\rightarrow \infty )=v_{\infty }={\sqrt {\frac {m\cdot g^{*}}{k}}}}" loading="lazy"> und</dd>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b={\frac {g^{*}}{v_{\infty }}}\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/404416c3a3e6436ff085deb8af10de045dfd8eaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:8.322ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle b={\frac {g^{*}}{v_{\infty }}}\,}" loading="lazy">.</dd></dl>

Als Lösung ergibt sich:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=v_{\infty }\tanh \left[{\frac {g^{*}}{v_{\infty }}}\cdot t\right]\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdce314f84f87d239739c33ef2d34cfafb8b5997.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.468ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v=v_{\infty }\tanh \left[{\frac {g^{*}}{v_{\infty }}}\cdot t\right]\,}" loading="lazy">.

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26145027656115364f96e031bca0c0c11022986e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.003ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{\infty }}" loading="lazy"> ist die Endgeschwindigkeit.</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tanh x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0be1dd47ba059a32307fa7dbcf98c0877931e39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.369ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \tanh x}" loading="lazy"> ist der <a href="Tangens_hyperbolicus_und_Kotangens_hyperbolicus" title="Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus">Tangens hyperbolicus</a>.</dd></dl></dd></dl>

Bei einer Neigung einer Skischanze von 37° und einem Reibwert von 0,03<a href="#cite_note-7">[7]</a> ergibt sich mit einem cw·A-Wert von 0,224 (A geschätzt 0,32 m², cw geschätzt 0,7, g*=5,67 m/s2, k=0,134, m=70 kg) 196 km/h. Die Sprungtürme von Skischanzen sind also nicht darauf ausgelegt diese Geschwindigkeiten zu erreichen.<a href="#cite_note-8">[8]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Rollen">Rollen</h4></div>

Im Folgenden wird ein Fahrzeug mit der Gesamtmasse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> behandelt, das eine Neigung herabrollt. Wenn im Berührpunkt zwischen Reifen und Fahrbahn keine Relativgeschwindigkeit auftritt, gibt es keine Reibungskraft. Eine Kraft in gleicher Richtung wird aber benötigt um die Winkelgeschwindigkeit der Räder zu erhöhen. Formal ist daher die Newtonsche Bewegungsgleichung identisch mit dem Fall Gleiten:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\cdot a=F_{\mathrm {H} }-F_{\mathrm {R} }-F_{\mathrm {W} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0d02b36655c78a798c0602298fb4bf6db524.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.04ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m\cdot a=F_{\mathrm {H} }-F_{\mathrm {R} }-F_{\mathrm {W} }}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn man vereinfachend annimmt, dass alle Räder gleich schwer sind und das gleiche Trägheitsmoment besitzen, so ergibt sich für die erforderliche Kraft für die Summe aller Räder:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {R} }=m_{\text{Rad}}\cdot a{\frac {i^{2}}{r^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/723749278ad2aaaa12a19d7fb9d2ac00c848abe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:17.101ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {R} }=m_{\text{Rad}}\cdot a{\frac {i^{2}}{r^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Eingesetzt in die Newtonsche Bewegungsgleichung:

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(m+m_{\text{Rad}}{\frac {i^{2}}{r^{2}}}\right)\cdot {\dot {v}}+kv^{2}=mg\sin \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8573943389c18cf0407f35279412504822e8d754.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.971ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left(m+m_{\text{Rad}}{\frac {i^{2}}{r^{2}}}\right)\cdot {\dot {v}}+kv^{2}=mg\sin \alpha }" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Gleichung entspricht formal der Gleichung die für den Fall Gleiten hergeleitet wurde. Sie hat also auch den gleichen Lösungsansatz. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich zu:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t\rightarrow \infty )=v_{\infty }={\sqrt {\frac {m\cdot g\sin \alpha }{k}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9eaf480a68c709973ba744c43d88c44e0d8ef281.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:32.027ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v(t\rightarrow \infty )=v_{\infty }={\sqrt {\frac {m\cdot g\sin \alpha }{k}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für einen Fahrer auf einem Rennrad mit der Gesamtmasse von 80 kg das ein Gefälle von 10 % herabrollt ergibt sich eine Endgeschwindigkeit von 82 km/h. Für cW·A wird mit Rennfahrerhaltung ein Wert von 0,25 m² angenommen. Bei einem cW·A Wert von 0,36 m² bei normaler Körperhaltung würde man eine Geschwindigkeit von 68 km/h erzielen.<a href="#cite_note-9">[9]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schraube">Schraube</h3></div>

Der im Alltag häufigste Anwendungsfall der schiefen Ebene ist die <a href="Schraube" title="Schraube">Schraube</a>. Die Schraube kann als schiefe Ebene betrachtet werden, die um einen Zylinder gewickelt wird. Im Grenzfall einer reibungsfreien Schraube kann der Energieerhaltungssatz angewandt werden. Die Arbeit aus Drehmoment <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> und Verdrehwinkel der Schraube entspricht der Arbeit aus Zugkraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{\mathrm {t} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {t} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/167c86835072b320d5d465fbd4e53ea6048330df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.367ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {t} }}" loading="lazy"> und Verschiebung.

Die Steigung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> einer Schraube ist als Differenz der Schraubengänge definiert. Bei einer Drehung um den Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi =2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi =2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f796039ecea0b6d47adfc2a3743b26f0570dbde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.978ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi =2\pi }" loading="lazy"> bewegt sich die Schraube um diese Strecke.

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z={\frac {\phi }{2\pi }}\cdot h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff4361e1841bab2b140c12751abc3772f4dc2a77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.535ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle z={\frac {\phi }{2\pi }}\cdot h}" loading="lazy"></dd></dl>

Für die Arbeit gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\cdot \phi =F_{\mathrm {t} }\cdot z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58d63883711157ea7431dda4f5404e6854f55684.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.739ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M\cdot \phi =F_{\mathrm {t} }\cdot z}" loading="lazy"></dd></dl>

und damit ergibt sich für die Zugkraft:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {t} }={\frac {M}{h}}\cdot 2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb1412c3f4d00230f26600945458ebb9792a5c8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.917ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {t} }={\frac {M}{h}}\cdot 2\pi }" loading="lazy">.</dd></dl>

Zwischen Schraube und Mutter wirkt an der Kontaktfläche der Gewindegänge eine Normalkraft. Diese kann in eine Tangentialkomponente und eine Komponente in Längsrichtung der Schraube zerlegt werden. Die Tangentialkomponente sorgt für das Momentengleichgewicht um die Achse der Schraube. Die Zugkraft spannt die Verbindung. Durch die Steigung der Schraube wird so eine geringere Kraft in tangentialer Richtung in eine größere Kraft in Längsrichtung <a href="Kraftwandler" title="Kraftwandler">gewandelt</a>.

Große Kräfte können daher bei gleichem Drehmoment mit Schrauben geringer Steigung erzielt werden. Für die Selbsthemmung der Verbindung ist Reibung erforderlich. Dies kann im Wirkungsgrad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy"> berücksichtigt werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\mathrm {t} }=\eta {\frac {M}{h}}\cdot 2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/048fef197baa13ae9e7ae07dd6e4b70aaefe7105.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.086ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle F_{\mathrm {t} }=\eta {\frac {M}{h}}\cdot 2\pi }" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Inclined_planes?uselang=de">Commons: Schiefe Ebene</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://archiv.christoph-hoffmann.de/ESS/Physik/Versuch12-4.pdf">Bestimmung der Endgeschwindigkeit an einer geneigten Ebene</a> (PDF; 166 kB)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.systemdesign.ch/index.php?title=Klotz_und_schiefe_Ebene">Aufgabe mit kommentierter Lösung</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.leifiphysik.de/mechanik/kraefteaddition-und-zerlegung/grundwissen/kraefte-der-schiefen-ebene-rechnerisch">Kräftezerlegung auf LEIFIphysik</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Armin Hermann: Fallgesetze. In: Armin Hermann (Hrsg.): Lexikon Geschichte der Physik A–Z. Biographien und Sachwörter, Originalschriften und Sekundärliteratur. 2. Aufl. Aulis Verlag Deubner, Köln 1978, S. 102.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Walter Hehl: <cite style="font-style:italic">Galileo Galilei kontrovers: Ein Wissenschaftler zwischen Renaissance-Genie und Despot</cite>. Springer Vieweg, 2017, ISBN 978-3-658-19294-5, S. 66 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=Z7E_DwAAQBAJ&pg=PA66#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schiefe+Ebene&rft.au=Walter+Hehl&rft.btitle=Galileo+Galilei+kontrovers%3A+Ein+Wissenschaftler+zwischen+Renaissance-Genie+und+Despot&rft.date=2017&rft.genre=book&rft.isbn=9783658192945&rft.pages=66&rft.pub=Springer+Vieweg" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.uni-flensburg.de/physik/histolab/thematische-sammlung/mechanik/fallrinne-nach-galilei/">Die Fallrinne nach Galileo Galilei.</a> Europa-Universität Flensburg, abgerufen am 9. April 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASchiefe+Ebene&rft.title=Die+Fallrinne+nach+Galileo+Galilei&rft.description=Die+Fallrinne+nach+Galileo+Galilei&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.uni-flensburg.de%2Fphysik%2Fhistolab%2Fthematische-sammlung%2Fmechanik%2Ffallrinne-nach-galilei%2F&rft.publisher=Europa-Universit%C3%A4t+Flensburg">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Bärbel Fromme: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.physik.uni-bielefeld.de/didaktik/Lehrerinnen/BochumCD2.pdf">„Freier Fall“ – frei nach Galilei – Fallrinnenversuche mit modernen schulischen Mitteln –.</a> (PDF) Abgerufen am 22. März 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASchiefe+Ebene&rft.title=%E2%80%9EFreier+Fall%E2%80%9C+%E2%80%93+frei+nach+Galilei+%E2%80%93+Fallrinnenversuche+mit+modernen+schulischen+Mitteln+%E2%80%93&rft.description=%E2%80%9EFreier+Fall%E2%80%9C+%E2%80%93+frei+nach+Galilei+%E2%80%93+Fallrinnenversuche+mit+modernen+schulischen+Mitteln+%E2%80%93&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.physik.uni-bielefeld.de%2Fdidaktik%2FLehrerinnen%2FBochumCD2.pdf&rft.creator=B%C3%A4rbel+Fromme">

</li>

<li id="cite_note-Eichler-5">↑ <a href="#cite_ref-Eichler_5-0">a</a> <a href="#cite_ref-Eichler_5-1">b</a> <a href="J%C3%BCrgen_Eichler" title="Jürgen Eichler">Jürgen Eichler</a>: <cite style="font-style:italic">Physik: Grundlagen für das Ingenieurstudium</cite>. <a href="Vieweg_Verlag" title="Vieweg Verlag">Vieweg Verlag</a>, Braunschweig/Wiesbaden 1993, ISBN 978-3-528-04933-1, S. 31, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-322-96859-3">10.1007/978-3-322-96859-3</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=OtmeBgAAQBAJ&pg=PA31">Google Books</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schiefe+Ebene&rft.au=J%C3%BCrgen+Eichler&rft.btitle=Physik%3A+Grundlagen+f%C3%BCr+das+Ingenieurstudium&rft.date=1993&rft.doi=10.1007%2F978-3-322-96859-3&rft.genre=book&rft.isbn=9783528049331&rft.pages=31&rft.place=Braunschweig%2FWiesbaden&rft.pub=Vieweg+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.deutsches-museum.de/sammlungen/meisterwerke/meisterwerke-vi/labor/">Das Labor nach Galilei.</a> Deutsches Museum, abgerufen am 23. März 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASchiefe+Ebene&rft.title=Das+Labor+nach+Galilei&rft.description=Das+Labor+nach+Galilei&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.deutsches-museum.de%2Fsammlungen%2Fmeisterwerke%2Fmeisterwerke-vi%2Flabor%2F&rft.publisher=Deutsches+Museum">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.weltderphysik.de/thema/hinter-den-dingen/wie-gleiten-skier/">Welt der Physik.</a> Wie gleiten Skier? In: Deutsche Physikalische Gesellschaft. Abgerufen am 26. März 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASchiefe+Ebene&rft.title=Welt+der+Physik&rft.description=Welt+der+Physik&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.weltderphysik.de%2Fthema%2Fhinter-den-dingen%2Fwie-gleiten-skier%2F">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf/aufgabe/sprungschanze">Waagerechter und schräger Wurf.</a> In: LEIFIphysik. Abgerufen am 28. März 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASchiefe+Ebene&rft.title=Waagerechter+und+schr%C3%A4ger+Wurf&rft.description=Waagerechter+und+schr%C3%A4ger+Wurf&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.leifiphysik.de%2Fmechanik%2Fwaagerechter-und-schraeger-wurf%2Faufgabe%2Fsprungschanze">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> H. J. Schlichting, R. Nobbe: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/fahrrad_wind_steigung.pdf">Untersuchungen zur Energetik des Fahrrads.</a> (PDF) Abgerufen am 27. März 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ASchiefe+Ebene&rft.title=Untersuchungen+zur+Energetik+des+Fahrrads&rft.description=Untersuchungen+zur+Energetik+des+Fahrrads&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.uni-muenster.de%2Fimperia%2Fmd%2Fcontent%2Ffachbereich_physik%2Fdidaktik_physik%2Fpublikationen%2Ffahrrad_wind_steigung.pdf&rft.creator=H.+J.+Schlichting%2C+R.+Nobbe">

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4399805-7">4399805-7</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-10-26" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Schiefe_Ebene&oldid=260929795">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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